7 Nov 2018

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का हल और मुख्य उपयोग।


दो चरों वाले रैखिक समीकरण

Two-dimensional linear equation



दो चरों वाले रैखिक समीकरण के सवाल को जानना हमारे लिए बहुत ही जरूरी  है क्योंकि यह एक ऐसा सवाल है कि जो दो प्रकार के अज्ञात मान / वस्तु की जानकारियाँ प्रदान करता है वो भी बहुत ही आसानी से । और इसमें ज्यादा समय भी नहीं लगता है। जैस : भिन्न के सवाल, आयु / ऊम्र, काम - समय, चाल - समय, विज्ञान के सवाल, घातांक के सवाल , त्रिकोणमितिय के सवाल, ज्यामितीय के सवाल , समाकलन - अवकलन आदि सभी प्रकार के सवालों में इसका उपयोग विशेष रूप से होता है। दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को हल करने की मुख्यतः तीन विधियाँ होती हैं -

  1. विलोपन विधि ( Deletion method ) 
  2. विस्थापन विधि ( Displacement method ) 
  3. वज्रगुणन विधि ( Vagranity method ) 







  विलोपन विधि  ( Delation method )   



 इस विधि में सुविधानुसार जिस पद को विलूप्त करना चाहते हैं उसे कर सकते हैं। जब एक पद विलूप्त हो जाता है तो दूसरे पद का मान आसानी से मिल जाता है। इस प्रकार पदो को विलूप्त करने की क्रिया को ही विलोपन कहते हैं । 

 क्या विलोपन का मतलब नहीं समझ में आ रहा है या पता नहीं है तो कोई बात नहीं है । चलिए जानते हैं इसके बारे में 


 विलोपन का मतलब है कि किसी भी चीज / वस्तु का पूर्ण रूप से समाप्त हो जाना या अस्तित्वहीन हो जाना। आपने सूना ही होगा कि पक्षियों की यह या वह प्रजातियों विलूप्त हो रही हैं या किसी अन्य जानवरों की कोई प्रजाति विलूप्त हो चुकी है तो इसका मतलब यह है कि इनकी एक ऐसी प्रजाति थी जो अब धीरे - धीरे समाप्त हो रही हैं या हो चुकी हैं । 





हल करने की विधि (  Method of solving )  

हल करने की विधि इस प्रकार है - 

  1. सबसे पहले दोनों समीकरणों में x या y किसी एक के गुणांक को गुणा या भाग करके बराबर करिए । 
  2. अब जो गुणांक बराबर है उसे जोड़कर या घटाकर काट दीजिए। ( यदि दोनों एकही चिंह के हैं तो घटाओ और अगर चिन्ह अलग - अलग है तो जोड़ दीजिए। ) 
  3. अब जो गुणांक बचा है उसे गुणा / भाग करके हल कर लिजिए । 

उदाहरण ( Example ) 1.    3x + 4y = 10 तथा 5x + 6y = 24  का हल किजिए / x और y का मान निकालिए ।

हल  (solution)  :  3x + 4y = 10     समी० ( 1 ) 
                         5x + 6y = 24     समी०  ( 2 ) 
अब x या y के एक गुणांक में से किसी एक को बराबर करना होगा। चलिए हम यहाँ x के गुणांक को बराबर करते हैं। अब हम यहाँ देख रहे हैं कि x के दो गुणांक 3 और 5 हैं। अगर समी० ( 1 ) में 5 से और समी० ( 2 ) में 3 का गुणा करें तो दोनों समीकरणों ( समी०) में x का गुणांक 15 हो जायेगा। गुणा करने पर  -

5 × ( 3x + 4y = 10 ) 
                          15x + 20y = 50   समी० ... ( 3 ) 
                     3 × ( 5x + 6y = 24 ) 
                     15x + 18y = 72   समी०... ( 4 ) 

चूँकि समी० ... ( 3 )  और  समी०... ( 4 )  में x के गुणांक 15 हैं और एकही चिन्ह के हैं  । इसलिए समी० ( 3 ) से समी० ( 4 ) को घटाने पर, 



   y = - 11
का मान समी० ( 1 ) में रखने पर,
 3x + 4 ( - 11 ) = 10  या 3x - 44 = 1 0
3x = 44 + 10 = 54
x = 54 / 3 = 18
अतः x = 18 और y = - 11 है। 

जारी  📝 है ..  

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