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सतत , वितत या मिश्रित भिन्न ( continues fraction ) by : Possibilityplus.in





   ऐसी भिन्न जो कई भिन्नों का समूह हो या कई भिन्ने  एक के बाद एक किसी एक भिन्न के हर से वृक्ष की शाखाओं के रूप में जुड़ी हों तो ऐसी भिन्न को मिश्रित, वितत या सतत भिन्न ( continues fraction ) कहते हैं। चलिए इसके बाारे में A to Z ( ए टू जे़ड ) जानकारियाँ लेते हैं।




     आर्टिकल के बारे में संक्षिप्त जानकारी 💡
          यह आर्टिकल गणितज्ञ और टेक्निकल लोगों के लिए बड़ा महत्वपूर्ण है क्योंकि मिश्रित भिन्न बहुव्यापी है।  इसका उपयोग हर क्षेत्र में किया जाता है। इसलिए इस  आर्टिकल को पुरी तरह से ध्यान  साथ पढ़िएगा।    



सतत भिन्नों का योग 🔖


सवाल 1.

का योग ज्ञात करें। 





हल : सबसे पहले 1 + 1/2 जोड़ना होगा। या यूँ कहें कि निचे जोड़ते हुए ऊपर की तरफ बढ़ते हैं।
इसलिए.             1 + 1/2 = ( 1×2 + 1 ) / 2
                                     = 3/2.

इस मान को रखने पर भिन्न हो जायेगी -
                       1 + 1 / ( 3/2 ) 
अब यहाँ से इसे दो तरिकों से हल कर सकते हैं -
पहला तरीका 
        इसमें    1 / ( 3/2 )  ,  2 का 1 के साथ गुणा होगा। 2 का गुणा 1 में इसलिए हो रहा है क्योंकि 3 में 2 की भाग है यानी 2, 1 का सहगुणनखंड  है।
तब भिन्न                2/3,    हो जायेगी।
अब भिन्न    1 + 2/3  हो जायेगी। 

इनको जोड़ने पर,      ( 1 × 3 + 2 ) / 3 = 5/3       - Ans.





दूसरा तरिका 




इस तरह से हल करते हैं। यहाँ पर दोनों विधियों के बारे में बताया गया जिससे आपको कोई संसय ना रहे। चलिए अब और बड़े सवालों को देखते हैंं।


सवाल 2. 

हल : सबसे पहले 3 + 1/4 को हल करना होगा। तब 
3 + 1/4  =  ( 3×4 + 1 ) / 4
              =  13 / 4. 

अब  2 + 1 / ( 13/4 ) का योग करना होगा। तब
2 + 1 / ( 13/4 ) = 2 + 4/13
                         = ( 2×13  +4 ) / 13
                         =  ( 26 + 4 ) / 13
                         = 30 / 13
 अतः Ans.        = 30 / 13.




सतत भिन्नों का घटना 🔶




सवाल 1. 



हल :  घटाने में भी निचे से ऊपर की तरफ हल करते जाते हैं।

बस फर्क इतना है कि इसमें घटाते हैं। 
 तब 3 - 1/0 को हल करने पर,
( 3×0 - 1 ) / 0 = - 1 / 0.

अब इस मान को भिन्न में रखेगें तब भिन्न
2 - 1 / ( - 1/0 ) = ( 2 - 1 × 0 ) / - 1
                        =  - 2

अब इस मान को भिन्न में रखेगें तब भिन्न
1 - 1 / - 2 =  ( 1×-2 - 1 ) / - 2
                =  ( - 2 - 1 ) / - 2
                =. - 3 / - 2
                = 3 / 2

उत्तर         = 3/2.



सतत भिन्नों का गुणा  


सवाल 1.  



हल :  यह सतत भिन्न का गुणा है। जब एक भिन्न में दूसरी भिन्न से भाग किया जाता है तब ऐसा होता है। इसमें जिस भिन्न से भाग करते हैं उसके हर का गुणा पहले वाली भिन्न के अंश में हो जाता है। 

 भिन्न का  अंश / हर    या  ( 1 × 1 ) /  2 × 1 = 1 / 2.

तथा   3 × 1 / 4 = 3 / 4
            
अब  ( 3 / 4 )  से 1 / 2 में भाग करनी होगी। 
तब.    ( 1 / 2 ) / ( 3 / 4 ) = 4 / 2 × 3
                               = 4 / 6.
उत्तर -              4 / 6



अगर 4 के स्थान पर हो तो हल क्या होगा ? 


सवाल 2.  


हल :   पहले वाले उदाहरण की भांति  हल करने पर, 
3 × 1 / 0  या ( 3 × 1 ) / 0 
              = 3 / 0.

इसके बाद  1 × 1 से 2 × 1  का मान निकालेंगे । तब

तब,           1 × 1 / 2 × 1  = 1 / 2.

अब ( 3 / 0 )  से ( 1 / 2 ) में भाग करना होगा। तब
 ( 1 / 2 ) / ( 3 / 0 ) =  0 / 6.

उत्तर -                0 / 6.







सतत भिन्नों की भाग   



इसमें सबसे पहले भाग वाले चिन्ह ÷ को हल करना होता है और इसके बाद नीचे से हल करते हुए ऊपर की तरफ जाते हैं। 


सवाल 1. 




हल : सबसे पहले भाग ( ➗ ) वाले चिन्हों को हल करते हैं ( ऊपर या निचे किधर से भी हल कर सकते हैं ) । 

तब,            ( 1 ÷ 1 ) = 1.
                  ( 2 ÷ 1 ) = 2
और       ( 3 ÷ 1 / 4 ) = ( 3 / 1 / 4 ) 
                                = 12 / 1 या  12.

         1 / 2 / 12 / 1 = 1 / 12 × 2 
                              =  1 / 24.
अब भिन्न इस तरह हो जायेगी। 
अतः उत्तर -      1 / 24.





आपको यह पोस्ट कैसी लगी कमेंट जरुर करें । धन्यवाद... 



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