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संभावनाओं का सागर

30 Oct 2019

Bodmas niyam fell / बोडमास नियम फेल ? 😮


क्या इन सवालों के जवाब हैं हमारे पास ?

  • ऐसे सवालों 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 को किस तरफ से और क्यों हल किया जाता है ? 
  • इस  2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 प्रश्न का उत्तर क्या है ? 
  • 36 ÷ 4 × 3 का मान क्या होगा ? 3 या 27 
  • क्या Bodmas नियम पुरी तरह से लागू होता है ? 





अगर देखा जाए तो बहुत से लोगों को इस तरह के सवालों को लेकर कन्फ्यूजन बना रहता है कि किधर से हल करें और किधर से नहीं।






नोट:इस तरह के सवालों को हल करने और समझाने का संभवतः पुरा प्रयास किया गया है, अगर फिर भी कोई कमी हो तो कमेंट जरुर करें। धन्यवाद ? 


   आपको बता दे कि हम ऐसे 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2  किसी भी सवाल को किसी भी तरफ से हल कर सकते हैं। ऐसा करने पर मान में कोई अंतर नहीं होगा। पर कैसे ?  जानने के लिए पुरा आर्टिकल ध्यान से जरूर पढ़िएगा।



              बोडमास ( Bodmas ) एक ऐसा नियम है, जो ऐसे सवालों 36 ÷ 4 × 3 , 8 ÷ 4 ( 2 + 2), 
 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = ? को हल करने के लिए बनाया गया है पर क्या आप जानते हैं कि यह नियम पुरी तरह से सही है या काम करता है ? । यह बात इन उदाहरणों से निकलकर आ रही है । चलो मान भी लेते हैंं  कि Bodmas नियम गलत है तो कोई ऐसा कारण तो दो जिससे यह सिद्ध हो सके कि Bodmas नियम पुरी तरह से उपयोगी नहीं है । कारण स्पष्ट और सरल है पर इसे जानने से पहले बोडमास नियम क्या है हमेें एक नजर डाल लेना  चाहिए। बोडमास नियम इस प्रकार है -

  1. B (= Brackets ) सबसे पहले कोष्टकों का हल करना। 
  2. O ( = of ) फिर " का " हल करना। 
  3. D ( = Division ) फिर भाग का हल करना ।
  4. M ( = Multiplication ) गुणा का हल करना। 
  5. A  ( = Addition ) जोड़ / घटना हल करना। और
  6. S  ( = Subtration ) घटाने का हल करना। 


क्या हम सब ऐसा कोई कारण दे सकते हैं कि Bodmas नियम क्यों सही है। 
   इन प्रश्नों को देखिये - 
  •  कोष्टकों को हल करने के बाद भाग ही क्यों दिया जाता है ?
  • भाग के बाद ही गुणा क्यों किया जाता है ?
  • बोडमास नियम से सवाल सही हल हुआ है या नहीं इसके लिए कोई परिक्षण सूत्र है क्या ? 


बाकि सवाल हम उदाहरण में देखेंगे 👇
चलिए जानते हैं विस्तार से : - 

उदाहरण ( Examples ) 

प्रश्न : 1.     36 ÷ 4 × 3 का हल करिए। 

हल :         Bodmas नियम के अनुसार भाग पहले करेंगे। इसलिए 36 में 4 की भाग करने पर 9 आयेगा। 
36 ÷ 4 = 9 
अब 9 का गुणा 3 के साथ करेंगे तो 
9 × 3 = 27 
अतः 36 ÷ 4 × 3 = 27
उत्तर  = 27 



             सबसे बड़ा और आवश्यक सवाल यह है कि यह सवाल 36 ÷ 4 × 3 इस क्रम में कैसे, क्यों और कहांँ से आया है ? क्या Bodmas नियम इसकी जानकारी देता है ? इस तरह बोडमास नियम में परिक्षण करने का अभाव झलक रहा है। इस तरह यह एक बड़ी कमी है । फिलहाल चलिए हम इसका परिक्षण करते हैं कि यह क्यों, कैसे और कहांँ से आया है। 





परिक्षण ( Testing )   1.

इस सवाल 36 ÷ 4 × 3   में अगर 3 ना होता तो यह इस प्रकार 36 ÷ 4 होता, जिसे हम ऐसे 36 / 4 लिख सकते हैं। अब अगर ( 36 / 4 ) में हम 3 को 4 के साथ गुणा करके रखना चाहे तो हम 3 को कहाँ और कैसे लिखेंगे। इसको हम निचे दिए गए चित्रानुशार लिखेंगे - 

चित्र संख्या :-  1. 



यहाँ ( चित्र संख्या : 1. ) में हम देख रहे हैं 36 में पहले 4 से भाग है फिर 3 का (  36 / 4 ) के पुरे मान में भाग है जिसका मतलब यह है कि 3 का 4 में गुणा है।
     इसी चीज को हम प्रत्यक्ष या डायरेक्ट रुप  हम में 36 ÷ 4 × 3 लिख देते हैं। चित्र से एक बात यह भी स्पष्ट हो रही है कि जब बड़ा बटा ( अपाॅन ) हो तो इसका मतलब यह है कि पुरे मान में भाग हो रही है निचे वाली संख्या से। यहां पर निचे वाली संख्या 3 है। एक बात यह भी स्पष्ट है कि हम 36 में 4 पहले भाग दे सकते हैं क्योंकि यह बड़े वाले बटे के अन्तर्गत है और इसके बाद फिर हम 3 से ( 36 / 4 = 12 ) में भाग दे सकते हैं।

अगर इस उदाहरण में हम 4 और 3 दोनों को एक-दूसरे के स्थान पर बदलकर ( 36 ÷ 3 × 4 ) लिखें तो मान क्या होगा। Bodmas नियम से हल करें तो इसका मान इस प्रकार होगा :-
36 ÷ 3 × 4 = 12 × 4 = 48


और अगर ऊपर बताए गए उदाहरण ( चित्र संख्या : 1. के अनुसार )  हल करें तो इसका मान भी 3 ही आयेगा जो इस प्रकार है :-
36 ÷ 3 × 4 = 36 ÷ 12 = 3

चित्र संख्या : 2.

इस तरह यहाँ चित्र संख्या : 2 वाले उदाहरण से हम यह देख रहे हैं कि इनके ( 3 और 4 ) के स्थान बदलने पर पर भी इनके ( 36 ÷ 4 × 3  और 36 ÷ 3 × 4 ) के मान में कोई परिवर्तन नहीं हो रहा है। अतः हम इसे इस तरह लिख सकते हैं -
36 ÷ 4 × 3 = 36 ÷ 3 × 4

अगर बटा एकसमान हो तो इसका मतलब यह है कि एक पहली संख्या या मान में दूसरे और दूसरे में तिसरे से भाग हो रही है। जैसे यहाँ 36 में 4 और 4 में 3 से भाग चित्र संख्या : 3. में दिखाया गया है।
चित्र संख्या : 3.




जब हम इस चित्र में दिखाए बटे को भाग के रूप में लिखेंगे तो यह इस तरह होगा :-
36 ÷ 4 ÷ 3 = 36 × 3 ÷ 4 = 9 × 3
36 ÷ 4 ÷ 3 = 27

चुँकि 36 में 4 की भाग है और 4 में 3 की भाग है तो स्पष्ट है कि 3 का विरोधी 4 है और 36 का सहायक है यानी 36 में 3 का गुणा होगा।



परिक्षण ( Testing )  2. 

गुणा को भाग में बदलकर ( × ➡️ ÷ )


   125 = 5 × 5 × 5   के रूप में लिख सकते हैं। अब ( 5 × 5 × 5 ) इनको भाग रूप में इस प्रकार लिखेंगे -
 5 × 5 × 5 = 5 ÷ 1 ÷ 5 ÷ 1 ÷ 5


यहाँ पर निम्न प्रश्न उठ रहे हैं - 
  • यह कैसे आया है ? 
  • भाग ( ÷ ) के चार चिन्ह कैसे आये जबकि गुणा ( × ) के दो ही चिन्ह थे ? 
इसको हम इस चित्र से समझ सकते हैं। 

चित्र संख्या : 4.



स्पष्टीकरण : हम जाानते हैं कि गुणा का उल्टा भाग है। गुणा और भाग मेें निम्न संबंध होता है -

  • भाग = 1 / गुणा  या   गुणा = 1 / भाग

जैसे मान 6 × 3 में जब गुणा को भाग में बदलेंगे तो 3 का उल्टा 1 / 3 हो जायेगा। 1 / 3 को भाग रुपमे 1÷ 3 लिखेंगे। इस तरह  6 × 3 को 6 ÷ 1 ÷ 3
के रुप में लिख सकते हैं। बिल्कुल इसी तरह से
5 × 5 × 5 = 5 ÷ 1 ÷ 5 ÷1 ÷ 5   लिख देते हैं।
इस तरह भी 5 × 5 × 5 हमें मिल रहा है जो कि आना चाहिए। अतः यह विधि सही है। और बोडमास विधि गलत साबित होती हुई दीख रही है।
इस तरह दो गुणा के चिन्ह चार भाग के चिन्ह मे बदल जाते हैं।
 चलिए इस नियम के अनुसार 36 ÷ 4 × 3 का भी परिक्षण कर लेते हैं।
36 ÷ 4 × 3  में  3 के सामने के गुणा के चिन्ह को भाग में बदलेंगे तो 3, 1 / 3 या 1 ÷ 3 में परिवर्तित हो जायेगा। इस तरह 36 ÷ 4 × 3 = 36 ÷ 4 ÷ 1 ÷ 3
चित्र संख्या : 4. के अनुसार हो जायेगा।
36 ÷ 4 ÷ 1 ÷ 3   का हल इस तरह होगा -
36 × 1 ÷ 4 × 3 = 36 ÷ 12 = 3

यहाँ से भी हमे वही उत्तर मिला है जो पहले दो उदाहरणों से मिला था। 


भाग को गुणा में बदलकर ( ÷ ➡️ × )

36 ÷ 4 × 3 में भाग का चिन्ह ( ÷ ), 4 के आगे है और हम जाानते हैं कि गुणा और भाग एक - दूसरे के उल्टे हैं। इसलिए 36 × ( 1/ 4 × 3 ) हो जायेगा। 
तब, 36 / 12 = 3.
     चलिए ( 5 ÷ 1 ÷ 5 ÷ 1 ÷ 5  = 125 ) को हम गुणा रुपमे बदलकर देखते हैं कि इनका मान 125 आ रहा है कि नही अगर आयेगा तो यह विधि सही होगी जो हम अपना रहे हैं। सबसे पहले हमें यह देखना है कि हम इसे किस तरफ से हल करेंगे ? 
  1. दाँयीं तरफ से हल करेगें ? या 
  2. बाँयीं तरफ से हल करेंगे ? 

इसका जवाब है दोनों तरफ से हल कर सकते हैं। 

दाँयीं तरफ से हल करना 

 इस 5 ÷ 1 ÷ 5 ÷ 1 ÷ 5  = ? (? = 125 ) सवाल को दाँयीं तरफ से हल करने के लिए सबसे पहले हम 1 ÷ 5 को हल करेगें जो सबसे दाँयाँ वाला मान है। 
1 ÷ 5 = 1 / 5 हो जायेगा। 
अब  5 ÷ 1 ÷ 5 ÷ 1/5 हो गया। 
फिर सबसे दाँयाँ वाले ( 5 ÷ 1/ 5 ) को हल करेगें। तब, 5 ÷ 1/5 = 25 हो जायेगा। 
अब 5 ÷ 1 ÷ 25 हो गया। 
फिर सबसे दाँयें वाले ( 1 ÷ 25 ) मान को हल करने पर, 
1 ÷ 25 = 1/25
अब 5 ÷ 1/25 को हल करने पर, 
5 ÷ 1/25 = 5 × 25 = 125

हम देख रहे हैं कि भाग करने पर 125 आ रहा हैं जो कि सही है। चलिए अब बाँयीं तरफ से हल करके भी देख लेते हैं कि इस तरह से क्या आता है। 


बाँयीं तरफ से हल करना 

  5 ÷ 1 ÷ 5 ÷ 1 ÷ 5 =  ? 
   इसमें सबसे बाँयीं भाग 5 ÷ 1 है। अतः 5 ÷ 1
  को हल करने पर,
5 ÷ 1 = 5 / 1
अब 5 / 1 ÷ 5 ÷ 1 ÷ 5 हो गया है। (यहां पर ध्यान देने वाली बात यह है कि बीच वाले 5 का 1 में भाग है।) अतः 5 से 1 मे ही भाग देनी होगी। तब ,
5 / 1 / 5 = 25 हो जायेगा। ( चित्र संख्या : 3. को देखें )
चुंँकि दाहिने वाले 1 से 5 में भाग थी जिसका गुणा पहले या बाँये वाले 5 में होने के कारण 25 हो गया है। अतः 25 में ही 1 की भाग होगी।
तब 25 ÷ 1 = 25 / 1
अब 25 / 1 ÷ 5 बचा है। इसे हल करने पर,
25 / 1  / 5 = ( 25 × 5 ) / 1 = 125.

इस तरह हम यह देख रहे हैं कि चाहे दाँयीं तरफ़ से भाग करो या बाँयीं तरफ से कोई फर्क नहीं पड़ता है।




हर तरफ से हल करने पर उत्तर सही कैसे आता है ? 

  यह सवाल बहुत आवश्यक और जरूरी भी है। इसलिए इसको भी शामिल किया गया है। 

उदाहरण 1. 1+ 2 + 3 + 4 को हम किधर से भी हल करें पर उत्तर में कोई फर्क नहीं पड़ता है पता है क्यों ? क्योंकि इस सवाल में एक ही प्रकार के के चिन्ह ( जोड़ के चिन्ह ) हैं। 
मान लिया हम 1+ 2 + 3 + 4  इसे दाहिने तरफ से हल करते हैं तब सबसे दाहिनी तरफ 3 और 4 हैं तो ( 3 + 4 ) को जोड़ने पर , 
3 + 4 = 7 होगा। अब 1+ 2 + 7  के रूप में सवाल बदलकर हो गया है। अब फिर सबसे दाहिनी तरफ से हल करने पर यानी 2 + 7 को जोड़ने पर, 
2 + 7 = 9 हो गया अब 1 + 9 बचा है जिसको जोड़ने पर, 
1 + 9 = 10 आ रहा है।

इसी तरह हम बाँयीं तरफ से हल करेंगे या जोड़गे तो भी उत्तर 10 ही आयेगा। 
मान लिया 2 × 3 × 4 को हल करना है। पहले 2 × 3 का गुणनफल लें, 2 × 4 का गुणनफल ले या 3 × 4 का गुणनफल लें। कोई फर्क नहीं पड़ता है उत्तर में। उत्तर हमेशा 24 ही आयेगा। इस तरह हम जो भी गणना करें सबसे पहले उसे किसी भी एक प्रकार के चिन्ह में बदल लेना चाहिए। और तब हम चाहे जिधर से भी हल करें कोई फर्क नहीं पड़ने वाला है। 


  आशा करता हूँ आपका सारा कन्फ्यूजन या डाउट क्लियर हो गया होगा। अगर अब कोई सवाल या राय है तो कमेंट करें । धन्यवाद! 
By : Possibilityplus.in


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