13 May 2018

4 - 4 / 2 - 2 = ?




एकबार फिर हजिर हैं हम एक ऐसे सवाल को लेकर जो बहुत से छात्र / छात्राओं को जानने की कोशिश करनी चाहिए या जानना चाहते हैं पर उनके पास समय की कमी या अन्य किसी कारणवश वो इस प्रकार के प्रश्नों को जान नहीं पाते हैं । अगर कोई छात्र / छात्रा इन्जिनीयर बनने की ख्वाहिश रखता है तो याद रखो ऐसे सवालों को हल करने की कोशिश करनी चाहिए।इस तरह के प्रश्नों को जानने के लिए आप हमसे जुड़े रहिए क्योंकि हम अपने आर्टिकल में ऐसे ही वैज्ञानिक तर्क पर आधारित सवालों को शामिल करते हैं।

     x2 - 4 / x - 2 =  ?, का मान क्या है।

 (  जहाँ  x = 2 )


यह सवाल लिमिट का है। इस सवाल को देखकर ऐसा लगता है कि यह एक अनिश्चित या अनिर्धारित मान है क्योंकि जब x = 2, रखते हैं तो दोनों मान ( x2 - 4 और x - 2 ) शून्य हो जाता है तो ऐसे में इस सवाल का हल कैसे निकाले ( क्योंकि शून्य से शून्य में भाग करने की जानकारियाँ अभी अस्तित्व में नहीं आई है ) , क्या होगा और ऐसा है तो क्यों। इस तरह के तमाम सवाल हमारे मन में इस  तरह के प्रश्न को लेकर उठने लगते हैं ।  इसमें ऐसा कुछ नहीं है क्योंकि इसका एक निश्चित मान है। इस मान का हम कारण सहित उल्लेख करेंगे जिससे यह स्पष्ट हो जायेगा कि यह प्राप्त मान सही है।






 हल :   x2 - 4 / x - 2 =  ?, को हल करने का दो तरिका यहाँ दिया जा रहा है। दोनों का बहुत बड़ा महत्व है,  चलिए देखते हैं ।

पहला तरीका -  

 चूँकि                   x2 - 4 = ( x + 2 ) ( x - 2 ) 
 इसलिए    x2 - 4 / x - 2 = ( x + 2 ) ( x - 2 )/ ( x - 2 )
               x2 - 4 / x - 2 = ( x + 2 )
 चूँकि         x = 2
 इसलिए   x2 - 4 / x - 2 = 2 + 2
              x2 - 4 / x - 2 = 4

 दूसरा तरीका - 

यह तरीका बहुत महत्वपूर्ण और वैज्ञानिक है जिसे हर कोई नहीं बताता है। यह कैलकुस गणित से मिलता - जुलता है। हमारी साइट्स की यही खासियत है कि हम कुछ ऐसा उदाहरण देते हैं जो बेहद खास होता है। इस तरीके में हम x में बहुत अल्प ( छोटा ) मान जोड़ते या घटाते हैं। यहाँ पर हम दो बार हल करेंगे एकबार छोड़कर और दूसरी बार घटाकर तभी स्पष्ट रूप से समझ में आयेगा । 

अत्यल्प मान छोड़कर हल करने पर - 
माना h एक अत्यल्प ( बहुत छोटा / छोटे से छोटा मान )  है ।
x2 - 4 / x - 2 , x में h जोड़ने पर
( x + h ) 2 - 4  = ( x2 + h 2 - 2hx ) - 4
तथा ( x + h ) - 2

जोड़ने से पहले वाले मान से इन दोनों मानों को घटाने पर -
 ( x2 + h 2 + 2hx ) - 4 - ( x2 - 4 ) = h 2 + 2hx
और  ( x + h ) - 2 - ( x - 2 ) = h

अब इन दोनों मानो को लेकर हल करने पर -
x2 - 4 / x - 2 = h 2 + 2hx / h
x2 - 4 / x - 2 = h ( h + 2x ) / h
x2 - 4 / x - 2 = h + 2x

चूँकि   x = 2,  h = 0 छोटे से छोटा मान रखने पर
इसलिए  x2 - 4 / x - 2 = 0 + 2 × 2
x2 - 4 / x - 2 = 4

अत्यल्प मान घटाकर हल करने पर -
माना इसमें अत्यल्प मान h घटा लेते हैं और मान देखते हैं क्या आता है।


x2 - 4 = ( x -  h ) 2 - 4
x2 - 4 = ( x2 + h 2 - 2hx ) - 4, अब अन्तर निकालने पर
{ ( x2 + h 2 - 2hx ) - 4 }  - ( x2 - 4 ) = h 2 - 2hx

x - 2 = ( x  - h ) - 2, 
h घटाकर अन्तर निकालने पर
( x  - h ) - 2 -  ( x - 2 ) = - h

अब दोनों मानों  को लेकर हल करने पर

x2 - 4 /  x - 2  = h 2 - 2hx / - h
x2 - 4 /  x - 2  = h ( h - 2x ) / - h
x2 - 4 /  x - 2  = -  ( h - 2x )
 x2 - 4 /  x - 2  = 2x - h,
 चूँकि  h = 0 और x = 2

इसलिए x2 - 4 /  x - 2  = 4 - 0

तो दोनों तरह स निकाले गए मानों में लगभग कोई अन्तर नहीं है। इस तरह के प्रश्नों को जानने के लिए हमसे possibilityplus.in पर जुड़े रहें ।

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